PANJANG VEKTOR DARI: 2 TITIK KOORDINAT (DUA atau TIGA DIMENSI), KOORDINAT TITIK DAN SUDUT SERTA CONTOH SOALNYA

PANJANG VEKTOR

Panjang Vektor

*). Panjang vektor dimensi dua

       Misalkan vektor a⃗ =(a1,a2)a→=(a1,a2)

       Panjang vektor a⃗ =|a⃗ |=a21+a22−−−−−−√a→=|a→|=a12+a22

*). Panjang vektor dimensi Tiga

       Misalkan vektor b⃗ =(b1,b2,b3)b→=(b1,b2,b3)

       Panjang vektor b⃗ =|b⃗ |=b21+b22+b23−−−−−−−−−−√b→=|b→|=b12+b22+b32

*). Panjang vektor Diketahui titik pangkal dan ujung

-). Dimensi dua :

       Misalkan diketahui titik A(a1,a2)A(a1,a2) dan B(b1,b2)B(b1,b2)

       Panjang vektor AB→=|AB→|=(b1−a1)2+(b2−a2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√AB→=|AB→|=(b1−a1)2+(b2−a2)2

       Panjang vektor BA→=|BA→|=(a1−b1)2+(a2−b2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√BA→=|BA→|=(a1−b1)2+(a2−b2)2

-). Dimensi tiga :

       Misalkan diketahui titik A(a1,a2,a3)A(a1,a2,a3) dan B(b1,b2,b3)B(b1,b2,b3)

       |AB→|=(b1−a1)2+(b2−a2)2+(b3−a3)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√|AB→|=(b1−a1)2+(b2−a2)2+(b3−a3)2

       |BA→|=(a1−b1)2+(a2−b2)2+(a3−b3)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√|BA→|=(a1−b1)2+(a2−b2)2+(a3−b3)2

dengan |AB→|=|BA→|

Vektor Satuan

*). Vektor satuan dimensi dua

       Misalkan vektor a⃗ =(a1,a2)a→=(a1,a2)

       Vektor satuan a⃗ =a⃗ |a⃗ |=1a21+a22√(a1,a2)a→=a→|a→|=1a12+a22(a1,a2)

*). Vektor satuan dimensi Tiga

       Misalkan vektor b⃗ =(b1,b2,b3)b→=(b1,b2,b3)

       Vektor satuan b⃗ =b⃗ |b⃗ |=1b21+b22+b23√(b1,b2,b3)b→=b→|b→|=1b12+b22+b32(b1,b2,b3)

Contoh soal Panjang Vektor dan Vektor Satuan

1). Tentukan panjang vektor masing-masing berikut ini

a). vektor a⃗ =(2,−3)a→=(2,−3)

b). vektor b⃗ =(1,−1,5)b→=(1,−1,5)

c). vektor AB→AB→ dengan koordinat titik A(1,2)A(1,2) dan B(−2,3)B(−2,3)

d). vektor CD→CD→ dengan koordinat titik C(0,−1,3)C(0,−1,3) dan D(−2,0,1)D(−2,0,1)

Penyelesaian :

a). vektor a⃗ =(2,−3)a→=(2,−3)

Panjang vektor a⃗ a→ adalah :

|a⃗ |=22+(−3)2−−−−−−−−−√=4+9−−−−−√=13−−√|a→|=22+(−3)2=4+9=13

b). vektor b⃗ =(1,−1,5)b→=(1,−1,5)

Panjang vektor b⃗ b→ adalah :

|b⃗ |=12+(−1)2+52−−−−−−−−−−−−−√=1+1+25−−−−−−−−−√=27−−√|b→|=12+(−1)2+52=1+1+25=27

c). vektor AB→AB→ dengan koordinat titik A(1,2)A(1,2) dan B(−2,3)B(−2,3)

-). Cara pertama :

Panjang vektor AB→AB→ adalah :

|AB→|=(−2−1)2+(3−2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−√=9+1−−−−−√=10−−√|AB→|=(−2−1)2+(3−2)2=9+1=10

-). Cara kedua :

Kita cari dulu vektor AB→AB→ yaitu :

AB→=B−A=(−2−1,3−2)=(−3,1)AB→=B−A=(−2−1,3−2)=(−3,1)

Panjang vektor AB→AB→ adalah :

|AB→|=(−3)2+12−−−−−−−−−√=9+1−−−−−√=10−−√|AB→|=(−3)2+12=9+1=10

d). vektor CD→CD→ dengan koordinat titik C(0,−1,3)C(0,−1,3) dan D(−2,0,1)D(−2,0,1)

-). Cara pertama :

Panjang vektor CD→CD→ adalah :

|CD→|=(−2−0)2+(0−(−1))2+(1−3)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=4+1+4−−−−−−−−√=9–√=3|CD→|=(−2−0)2+(0−(−1))2+(1−3)2=4+1+4=9=3

-). Cara kedua :

Kita cari dulu vektor CD→CD→ yaitu :

CD→=D−C=(−2−0,0−(−1),1−3)=(−2,1,−2)CD→=D−C=(−2−0,0−(−1),1−3)=(−2,1,−2)

Panjang vektor CD→CD→ adalah :

|CD→|=(−2)2+12+(−2)2−−−−−−−−−−−−−−−−√=4+1+4−−−−−−−−√=9–√=3|CD→|=(−2)2+12+(−2)2=4+1+4=9=3

2). Tentukan vektor satuan dari masing-masing vektor berikut :

a). p⃗ =(−1,3)p→=(−1,3)

b). q⃗ =(1,2,−2)q→=(1,2,−2)

Penyelesaian :

a). p⃗ =(−1,3)p→=(−1,3)

*). Panjang vektor p⃗ p→ :

|p⃗ |=(−1)2+32−−−−−−−−−√=1+9−−−−−√=10−−√|p→|=(−1)2+32=1+9=10

*). Vektor satuan dari p⃗ p→ yaitu :

ep⃗ =1|p⃗ |p⃗ =110√(−1,3)=(−110√,310√)ep→=1|p→|p→=110(−1,3)=(−110,310)

b). q⃗ =(1,2,−2)q→=(1,2,−2)

*). Panjang vektor q⃗ q→ :

|q⃗ |=(1)2+22+(−2)2−−−−−−−−−−−−−−√=1+4+4−−−−−−−−√=9–√=3|q→|=(1)2+22+(−2)2=1+4+4=9=3

*). Vektor satuan dari q⃗ q→ yaitu :

eq⃗ =1|q⃗ |q⃗ =13(1,2,−2)=(13,23,−23)eq→=1|q→|q→=13(1,2,−2)=(13,23,−23)

3). Diketahui koordinat titik A(3,−1,−2)A(3,−1,−2) dan B(0,−1,2)B(0,−1,2). Tentukan vektor satuan dari vektor BA→BA→ !

Penyelesaian :

*). Menentukan vektor BA→BA→ :

BA→=A−B=(3−0,−1−(−1),−2−2)=(3,0,−4)BA→=A−B=(3−0,−1−(−1),−2−2)=(3,0,−4)

*). Panjang vektor BA→BA→ :

|BA→|=32+02+(−4)2−−−−−−−−−−−−−√=9+0+16−−−−−−−−−√=25−−√=5|BA→|=32+02+(−4)2=9+0+16=25=5

*). Vektor satuan dari BA→BA→ yaitu :

eBA→=1|BA→|BA→=15(3,0,−4)=(35,0,−45)eBA→=1|BA→|BA→=15(3,0,−4)=(35,0,−45)

4). Diketahui koordinat titik P(1,2)P(1,2) dan Q(−2,k)Q(−2,k). Jika panjang vektor PQ→PQ→ adalah 5 satuan, maka tentukan jumlah semua nilai kk yang mungkin!

Penyelesaian :

*). Menentukan vektor PQ→PQ→ :

PQ→=Q−P=(−2−1,k−2)=(−3,k−2)PQ→=Q−P=(−2−1,k−2)=(−3,k−2)

*). Menentukan nilai kk dengan |PQ→|=5|PQ→|=5 :

|PQ→|(−3)2+(k−2)2−−−−−−−−−−−−−√9+k2−4k+4−−−−−−−−−−−−−√k2−4k+13−−−−−−−−−−√(k2−4k+13−−−−−−−−−−√)2k2−4k+13k2−4k−12(k+2)(k−6)k1=−2∨k2=5=5=5=5(kuadratkan)=52=25=0=0=6|PQ→|=5(−3)2+(k−2)2=59+k2−4k+4=5k2−4k+13=5(kuadratkan)(k2−4k+13)2=52k2−4k+13=25k2−4k−12=0(k+2)(k−6)=0k1=−2∨k2=6

Sehingga jumlah semua nilai kk yang mungkin yaitu :

k1+k2=−2+6=4k1+k2=−2+6=4.

5). Jika vektor satuan dari a⃗ =(1,−1,r)a→=(1,−1,r) adalah (16√,−16√,−26√)(16,−16,−26), maka tentukan nilai (r−3)2(r−3)2 !

Penyelesaian :

*). Panjang vektor a⃗ a→ :

|a⃗ |=(1)2+(−1)2+r2−−−−−−−−−−−−−−√=1+1+r2−−−−−−−−√=2+r2−−−−−√|a→|=(1)2+(−1)2+r2=1+1+r2=2+r2

*). Vektor satuan dari a⃗ a→ yaitu :

ea⃗ =1|a⃗ |a⃗ =12+r2√(1,−1,r)=(12+r2√,−12+r2√,r2+r2√)ea→=1|a→|a→=12+r2(1,−1,r)=(12+r2,−12+r2,r2+r2)

*). Pada soal juga diketahui vektor satuan dari a⃗ a→ adalah (16√,−16√,−26√)(16,−16,−26),

Sehingga terjadi kesamaan yaitu :

(16√,−16√,−26√)=(12+r2√,−12+r2√,r2+r2√)(16,−16,−26)=(12+r2,−12+r2,r2+r2)

Yang artinya nilai :

16√=12+r2√→6–√=2+r2−−−−−√→r2=4→r=±216=12+r2→6=2+r2→r2=4→r=±2

−16√=−12+r2√→6–√=2+r2−−−−−√→r2=4→r=±2−16=−12+r2→6=2+r2→r2=4→r=±2

−26√=−r2+r2√→r=2−26=−r2+r2→r=2

Nilai rr yang memenuhi adalah r=2r=2.

*). Menentukan nilai (r−3)2(r−3)2 :

(r−3)2=(2−3)2=(−1)2=1(r−3)2=(2−3)2=(−1)2=1

Jadi, nilai (r−3)2=1.♡(r−3)2=1.♡.

6). Sebuah segitiga ABC memiliki koordinat titik pojoknya masing-masing yaitu A(0,0)A(0,0) , B(3,4)B(3,4) , dan C(p,0)C(p,0). Jika keliling segitiga ABC adalah 16 satuan, maka tentukan nilai p2−6p+1p2−6p+1 !

Penyelesaian :

*). Untuk menentukan keliling segitiga ABC dapat kita hitung dengan menjumlahkan panjang ketiga sisinya yaitu |AB→|+|BC→|+|CA→||AB→|+|BC→|+|CA→|

*). Menentukan panjang masing-masing sisi segitiga ABC :

|AB→|=(3−0)2+(4−0)2−−−−−−−−−−−−−−−√=9+16−−−−−√=25−−√=5|AB→|=(3−0)2+(4−0)2=9+16=25=5

|BC→|=(p−3)2+(0−4)2−−−−−−−−−−−−−−−√=p2−6p+9+16−−−−−−−−−−−−−√=p2−6p+25−−−−−−−−−−√|BC→|=(p−3)2+(0−4)2=p2−6p+9+16=p2−6p+25

|CA→|=(0−p)2+(0−0)2−−−−−−−−−−−−−−−√=p2+0−−−−−√=p2−−√=p|CA→|=(0−p)2+(0−0)2=p2+0=p2=p

*). Menentukan nilai pp dengan keliling segitiga = 16

|AB→|+|BC→|+|CA→|5+p2−6p+25−−−−−−−−−−√+pp2−6p+25−−−−−−−−−−√(p2−6p+25−−−−−−−−−−√)2p2−6p+2522p−6p16pp=16=16=11−p(kuadratkan)=(11−p)2=121−22p+p2=121−25=96=6|AB→|+|BC→|+|CA→|=165+p2−6p+25+p=16p2−6p+25=11−p(kuadratkan)(p2−6p+25)2=(11−p)2p2−6p+25=121−22p+p222p−6p=121−2516p=96p=6

Sehingga nilai p=6p=6.

*). Menentukan nilai p2−6p+1p2−6p+1 :

p2−6p+1=62−6.6+1=36−36+1=1p2−6p+1=62−6.6+1=36−36+1=1

Jadi, nilai p2−6p+1=1.♡p2−6p+1=1.♡.

7). Diketahui vektor a⃗ a→ dan b⃗ b→ di R22. Jika |a⃗ |=4|a→|=4, b⃗ |=5b→|=5 , dan |a⃗ +b⃗ |=7|a→+b→|=7, maka tentukan nilai |a⃗ −b⃗ ||a→−b→|!

Penyelesaian :

*). Misalkan vektor a⃗ =(a1,a2)a→=(a1,a2) dan b⃗ =(b1,b2)b→=(b1,b2)

*). Menyusun beberapa persamaan dari yang diketahui

-). Persamaan pertama : |a⃗ |=4|a→|=4

|a⃗ |a21+a22−−−−−−√a21+a22=4=4(kuadratkan)=16....(i)|a→|=4a12+a22=4(kuadratkan)a12+a22=16....(i)

-). Persamaan kedua : |b⃗ |=5|b→|=5

|b⃗ |b21+b22−−−−−−√b21+b22=5=5(kuadratkan)=25....(ii)|b→|=5b12+b22=5(kuadratkan)b12+b22=25....(ii)

-). Persamaan ketiga : |a⃗ +b⃗ |=7|a→+b→|=7

|a⃗ +b⃗ |(a1+b1)2+(a2+b2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√(a1+b1)2+(a2+b2)2a21+b21+2a1b1+a22+b22+2a2b2(a21+a22)+(b21+b22)+2a1b1+2a2b216+25+2a1b1+2a2b241+2a1b1+2a2b22a1b1+2a2b22a1b1+2a2b2=7=7(kuadratkan)=49=49=49=49=49=49−41=8....(iii)|a→+b→|=7(a1+b1)2+(a2+b2)2=7(kuadratkan)(a1+b1)2+(a2+b2)2=49a12+b12+2a1b1+a22+b22+2a2b2=49(a12+a22)+(b12+b22)+2a1b1+2a2b2=4916+25+2a1b1+2a2b2=4941+2a1b1+2a2b2=492a1b1+2a2b2=49−412a1b1+2a2b2=8....(iii)

*). Menentukan nilai panjang |a⃗ −b⃗ ||a→−b→| :

|a⃗ −b⃗ |=(a1+b1)2+(a2+b2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=(a1−b1)2+(a2−b2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=a21+b21−2a1b1+a22+b22−2a2b2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=(a21+a22)+(b21+b22)−(2a1b1+2a2b2)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=16+25−8−−−−−−−−−√=33−−√|a→−b→|=(a1+b1)2+(a2+b2)2=(a1−b1)2+(a2−b2)2=a12+b12−2a1b1+a22+b22−2a2b2=(a12+a22)+(b12+b22)−(2a1b1+2a2b2)=16+25−8=33

Jadi, panjang |a⃗ −b⃗ |=33−−√.