DALIL TITIK TENGAH DAN DALIL INTERSEPT PADA SEGITIGA PADA MASALAH GEOMETRI DAN CONTOH SOALNYA

Dalil Titik Tengah dan Intercep Segitiga

Dalil Titik Tengah Segitiga

Perhatikan segitiga ABC berikut,

Pada segitiga ABC di atas, titik D dan E adalah titik tengah masing-masing sisi AC dan BC, kemudian ditarik garis DE (gambar (ii)) yang memenuhi dalil titik tengah.

       Dalil Titik Tengah Segitiga yaitu segmen garis penghubung titik-titik tengah dari kedua sisi segitiga (garis DE) adalah sejajar dengan sisi segitiga (sisi AB) dan panjangnya adalah setengah kali panjang sisi ketiga segitiganya (sisi AB).
Artinya panjang DE=12×AB$DE=\frac{1}{2}\times AB$.

Contoh :
1). Pada segitiga ABC diketahui panjang AB = 14 cm, CD = DA, CE = EB, dan DE sejajar dengan garis AB. Tentukan panjang garis DE?
Penyelesaian :
*). Berdasarkan dalil titik tengah segitiga,
panjang DE=12×AB=12×14=7$DE=\frac{1}{2}\times AB=\frac{1}{2}\times 14=7$.
Jadi, panjang DE = 7 cm.

2). perhatikan gambar segitiga berikut.

.

Tentukan panjang sisi AB.?
Penyelesaian :
*). Dari gambarnya, maka berlaku dalil titik tengah segitiga.
DE=12×AB→AB=2×DE=2×3=6$DE=\frac{1}{2}\times AB\to AB=2\times DE=2\times 3=6$.
Jadi, panjang AB = 6 cm.

Dalil Intercep Segitiga

Perhatikan gambar segitiga PQR berikut,

Pada segitiga PQR ditarik garis TU yang sejajar dengan sisi QR.

       Dalil intercep segitiga yaitu Jika sebuah garis sejajar dengan salah satu sisi sebuah segitiga PQR (misalkan garis TU sejajar dengan sisi QR pada segitiga PQR) memotong dua sisi lain dari segitiga PQR (garis TU memotong sisi PQ dan PR) di titik T dan U, maka berlaku perbandingan PT : TQ = PU : UR dan PT : PQ = PU : PR = TU : QR..

Contoh :
3). perhatikan segitiga berikut,

Tentukan nilai x$x$ dan y$y$.?
Penyelesaian :
*). Kita akan menggunakan dalil intercep segitiga.
*). Menentukan nilai x$x$ ,
PUURx3x=PTTQ=32=32×3=92=4,5$\begin{array}{rl}\frac{PU}{UR}& =\frac{PT}{TQ}\\ \frac{x}{3}& =\frac{3}{2}\\ x& =\frac{3}{2}\times 3\\ & =\frac{9}{2}\\ & =4,5\end{array}$.
Sehingga panjang PU=x=4,5$PU=x=4,5$.
*). Menentukan nilai y$y$ ,
TUQRy10y=PTPQ=35=35×10=305=6$\begin{array}{rl}\frac{TU}{QR}& =\frac{PT}{PQ}\\ \frac{y}{10}& =\frac{3}{5}\\ y& =\frac{3}{5}\times 10\\ & =\frac{30}{5}\\ & =6\end{array}$.
Sehingga panjang TU=y=6$TU=y=6$.

4). Dari gambar berikut, tentukan nilai m+n$m+n$.

Penyelesaian :
*). Menentukan nilai m$m$.
Perhatikan segitiga AFG,
DEFG=ADAF→m10=12→m=5$\frac{DE}{FG}=\frac{AD}{AF}\to \frac{m}{10}=\frac{1}{2}\to m=5$.
*). Menentukan nilai n$n$.
Perhatikan segitiga ABC,
FGBC=AFAB→10n=23→n=15$\frac{FG}{BC}=\frac{AF}{AB}\to \frac{10}{n}=\frac{2}{3}\to n=15$.
Sehingga nilai m+n=5+15=20$m+n=5+15=20$.

Cara II :
Untuk soal seperti gambar pada soal nomor 4 ini, maka berlaku :
m+n=2×10=20$m+n=2\times 10=20$.
Maksudnya, jika panjang garis FG=a,$FG=a,$ maka m+n=2a$m+n=2a$.

Pembuktian Dalil Titik Tengah dan Intercep Segitiga

Perhatikan gambar segitiga PQR berikut,

Garis TU sejajar dengan sisi QR pada segitiga PQR.

       Untuk membuktikan kedua dalil ini, konsep yang digunakan adalah "kesebangunan" pada segitiga. Segitiga PTU sebangun dengan segitiga PQR sehingga berlaku perbandingan yang sama pada sisi-sisi yang bersesuaian.
Perbandingan yang berlaku : PTPQ=TUQR=PUPR$\frac{PT}{PQ}=\frac{TU}{QR}=\frac{PU}{PR}$ ....pers(i).

sehingga terbukti untuk dalil intercep : PTPQ=TUQR=PUPR$\frac{PT}{PQ}=\frac{TU}{QR}=\frac{PU}{PR}$

*). Pembuktian dalil intercep : PTTQ=PUUR$\frac{PT}{TQ}=\frac{PU}{UR}$.
Dari segitiga PQR, maka PQ=PT+TQ$PQ=PT+TQ$ dan PR=PU+UR$PR=PU+UR$.
kita gunakan pers(i) :
PTPQPT.PRPT.(PU+UR)PT.PU+PT.URPT.URPTTQ=PUPR=PU.PQ=PU.(PT+TQ)=PU.PT+PU.TQ=PU.TQ=PUPR$\begin{array}{rl}\frac{PT}{PQ}& =\frac{PU}{PR}\\ PT.PR& =PU.PQ\\ PT.(PU+UR)& =PU.(PT+TQ)\\ PT.PU+PT.UR& =PU.PT+PU.TQ\\ PT.UR& =PU.TQ\\ \frac{PT}{TQ}& =\frac{PU}{PR}\end{array}$
Sehingga terbukti dalil intercep : PTTQ=PUUR$\frac{PT}{TQ}=\frac{PU}{UR}$.

*). Pembuktian dalil titik tengah : TU=12×QR$TU=\frac{1}{2}\times QR$.
Untuk dalil titik tengah, maka PT = TQ sehingga PTPQ=12$\frac{PT}{PQ}=\frac{1}{2}$.
Kita gunakan pers(i) :
PTPQ12TU=TUQR=TUQR=12×QR$\begin{array}{rl}\frac{PT}{PQ}& =\frac{TU}{QR}\\ \frac{1}{2}& =\frac{TU}{QR}\\ TU& =\frac{1}{2}\times QR\end{array}$
Jadi, terbukti dalil titik tengah :

Contoh Soal dan Pembahasan:

Contoh 1

Perhatikan gambar segitiga PQR$PQR$ di bawah ini:

Jika panjang ruas garis ST=15$ST=15$ cm, berpakah panjang ruas garis QR$QR$

Pembahasan:

Karena titik S$S$ merupakan titik tengah ruas garis QP$QP$ dan titik T$T$ titik tengah ruas garis PR$PR$, maka berlaku dalil titik tengah sehingga diperoleh:

ST=12×QR⇒QR=2×ST$ST=\frac{1}{2}\times QR\Rightarrow QR=2\times ST$

QR=2×15=30$QR=2\times 15=30$ cm

Contoh 2

Perhatikan segitiga ABC$ABC$ siku-siku di B$B$ pada gambar di bawah ini:

Jika panjang BE=5$BE=5$ cm dan panjang AD=13$AD=13$ cm, berapakah panjang AB$AB$ dan DE$DE$?

Pembahasan:

BC=2×BE=2×5=10$BC=2\times BE=2\times 5=10$

AC=2×AD=2×13=26$AC=2\times AD=2\times 13=26$

Dengan menggunakan teorema pythagoras, kita peroleh:

AB2AB=AC2−BC2=(AC+BC)(AC−BC)=(13+5)(13−5)=18×8=144=144−−−√=12$\begin{array}{rl}A{B}^2& =A{C}^2-B{C}^2\\ & =(AC+BC)(AC-BC)\\ & =(13+5)(13-5)\\ & =18\times 8\\ & =144\\ AB& =\sqrt{144}\\ & =12\end{array}$

Dengan menggunakan dalil titik tengah pada segitiga kita peroleh:

DE=12×AB=12×12=6$DE=\frac{1}{2}\times AB=\frac{1}{2}\times 12=6$

Contoh 3

Perhatikan gambar berikut:

Nilai x+y$x+y$ pada gambar di atas adalah ....

Pembahasan:

Perhatikan segitiga CDE$CDE$, berdasarkan dalil titik tengah pada segitiga, maka kita peroleh:

x=12×DE=12×22=11$x=\frac{1}{2}\times DE=\frac{1}{2}\times 22=11$

Segitiga ABC$ABC$ sebangun dengan segitiga CDE$CDE$, maka berlaku:

ACDC32yy=ABDE=y22=32×22=33$\begin{array}{rl}\frac{AC}{DC}& =\frac{AB}{DE}\\ \frac{3}{2}& =\frac{y}{22}\\ y& =\frac{3}{2}\times 22\\ y& =33\end{array}$

maka x+y=11+33=44