SOAL PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA DAN SIFAT-SIFATNYA

Nicholas Budi Syahputra (29)

X MIPA 2

$1.$ 1.Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan
${}^2\log (2x-3)<3$ adalah . . . .
  $A.x>\frac{3}{2}$
  $B.x<\frac{3}{2}$
  $C.x<\frac{11}{2}$
  $D.\frac{3}{2}<x<\frac{11}{2}$
  $E.x>\frac{11}{2}$
[Pertidaksamaan Logaritma]

Pembahasan:

${}^{}\log (2x-3)<3$
Syarat basis:
Syarat basis sudah terpenuhi karena basis atau bilangan
pokok adalah $2>0dan\ne 1$.

Syarat numerus:
$2x-3>0$
$2x>3$
$x>\frac{3}{2}$ . . . . *

Syarat pertidaksamaan:
${}^{2}log(2x-3)<{}^{2}log8$
Karena bilangan pokok atau basis > 1,
maka pertidaksamaan logaritma menjadi:
$2x-3<8$
$2x<11$
$x<\frac{11}{2}$ . . . . **

$(\ast )\cap (\ast \ast )\to \frac{3}{2}<x<\frac{11}{2}$
$Jawab:D.$

2. Jika ${}^{\frac{1}{3}}\log (3x+2)\ge -2$, maka nilai x yang memenuhi adalah . . . .
  $A.x>-\frac{2}{3}$
  $B.x\le \frac{7}{3}$
  $C.x<\frac{2}{3}$
  $D.-\frac{2}{3}<x\le \frac{7}{3}$
  $E.-\frac{2}{3}\le x\le \frac{7}{3}$
[Pertidaksamaan Logaritma]

Pembahasan:

${}^{}\log (3x+2)\ge -2$

Syarat basis:
Syarat basis sudah terpenuhi karena basis atau bilangan
pokok adalah $\frac{1}{3}>0dan\ne 1.$

Syarat numerus:
$3x+2>0$
$3x>-2$
$x>-\frac{2}{3}$ . . . . *

Syarat pertidaksamaan:
${}^{\frac{1}{3}}log(3x+2){\ge }^{\frac{1}{3}}log(\frac{1}{3}{)}^{-2}$
Karena basisnya adalah $\frac{1}{3}\to 0<a<1$

maka pertidaksamaan logaritma menjadi:
$3x+2\le (\frac{1}{3}{)}^{-2}$
$3x+2\le 3^2$
$3x+2\le 9$
$3x\le 7$
$x\le \frac{7}{3}$ . . . . **

$\left(1\right)\cap \left(2\right)\to -\frac{2}{3}<x\le \frac{7}{3}$
$Jawab:D.$

3. Jika ${}^{3}log(x^2-2x)<{}^{3}log(2x-3)$, maka nilai $x$
yang memenuhi adalah . . . .
  $A.x<0ataux>2$
  $B.1<x<3$
  $C.2<x<3$
  $D.-1<x<2$
  $E.x<2ataux>3$
[Pertidaksamaan Logaritma]

Pembahasan:

${}^{}log(x^2-2x){<}^{3}log(2x-3)$

Syarat basis:
Syarat basis sudah terpenuhi karena basisnya adalah
$3>0dan\ne 1.$

Syarat numerus:
$\left(i\right).x^2-2x>0$
$x(x-2)>0$
$x<0ataux>2$ . . . . *

$\left(ii\right).2x-3>0$
$2x>3$
$x>\frac{3}{2}$ . . . . **

Syarat pertidaksamaan:
Karena basisnya adalah $3(a>1)$, maka pertidaksamaan
logaritma menjadi:
$x^2-2x<2x-3$
$x^2-4x+3<0$
$(x-1)(x-3)<0$
$1<x<3$ . . . . ***

$(\ast )\cap (\ast \ast )\cap (\ast \ast \ast )\to 2<x<3$
$Jawab:C.$

4. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan:
   ${}^{\frac{1}{2}}log(2x^2-3x){\ge }^{\frac{1}{2}}log(2x+3)$ adalah . . . .
  $A.-\frac{3}{2}<x<0$
  $B.-\frac{1}{2}<x<3$
  $C.x<\frac{1}{2}ataux>3$
  $D.x<2ataux>3$
  $E.-\frac{1}{2}\le x<0$ $atau\frac{3}{2}<x\le 3$
[Pertidaksamaan Logaritma]

Pembahasan:

${}^{}log(2x^2-3x)\ge {}^{\frac{1}{2}}log(2x+3)$

Syarat basis
Syarat basis sudah terpenuhi.
Syarat numerus:
$\left(i\right).2x^2-3x>0$
$x(2x-3)>0$
$x<0$ atau $x>\frac{3}{2}$ . . . . *

$\left(ii\right).2x+3>0$
$2x>-3$
$x>-\frac{3}{2}$ . . . . **

Syarat pertidaksamaan:
Karena basisnya adalah $\frac{1}{2}(0<a<1)$,
maka pertidaksamaan logaritma menjadi:
$2x^2-3x\le 2x+3$
$2x^2-5x-3\le 0$
$(2x+1)(x-3)\le 0$
$-\frac{1}{2}\le x\le 3$ . . . . ***

$(\ast )\cap (\ast \ast )\cap (\ast \ast \ast )\to -\frac{1}{2}\le x<0$ atau $\frac{3}{2}<x\le 3$
$Jawab:E.$

5. Jika ${}^{2}lo{g}^{2}x-{7.}^{2}logx+10<0$, maka nilai
  $x$ yang memenuhi adalah . . . .
  $A.x<4$
  $B.0<x<4$
  $C.-2<x<16$
  $D.4<x<32$
  $E.x>32$
[Pertidaksamaan Logaritma]

Pembahasan:

${}^{}lo{g}^{2}x-{7.}^{2}logx+10<0$

Syarat numerus:
$x>0$ . . . . *

Misalkan ${}^{2}logx=p$
Pertidaksamaan logaritma menjadi:
$p^2-7p+10<0$
$(p-2)(p-5)<0$
$2<p<5$
$2<{}^{2}logx<5$
${}^{2}log4<{}^{2}logx<{}^{2}log32$
$4<x<32$ . . . . **

$(\ast )\cap (\ast \ast )\to 4<x<32$
$Jawab:D.$

6. Himpunan penyelesaian dari
  $log(x^2+4x+4)\le log(5x+10)$ adalah . . . .
  $A.\{x|-2<x\le 3\}$
  $B.\{x|x<3\}$
  $C.\{x|-3<x<2\}$
  $D.\{x|x\le -2ataux\ge 3\}$
  $E.\{x|-2\le x\le 3\}$
[Pertidaksamaan Logaritma]

Pembahasan:

$log(x^2+4x+4)\le log(5x+10)$

Syarat numerus:
$\left(i\right).x^2+4x+4>0$
$(x+2{)}^2>0$ → selalu memenuhi jika $x\ne -2$ . . . . *

$\left(ii\right).5x+10>0$
$5x>-10$
$x>-2$ . . . . **

Syarat pertidaksamaan:
Karena basis adalah $10>1$, maka pertidaksamaan
logaritma menjadi:
$x^2+4x+4\le 5x+10$
$x^2-x-6\le 0$
$(x+2)(x-3)\le 0$
$-2\le x\le 3$ . . . . ***

$(\ast )\cap (\ast \ast )\cap (\ast \ast \ast )\to -2<x\le 3$
$Jawab:A.$

7. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan:
  $2logx\le log(x+3)+log4$ adalah . . . .
  $A.\{x|-2\le x\le 6\}$
  $B.\{x|x>6\}$
  $C.\{x|0<x\le 6\}$
  $D.\{x|0<x\le 2\}$
  $E.\{x|0<x<2ataux=6\}$
[Pertidaksaman Logaritma]

Pembahasan:

$2logx\le log(x+3)+log4$

Syarat numerus:
$\left(i\right).x>0$ . . . . *

$\left(ii\right).x+3>0$
$x>-3$ . . . . **

Syarat pertidaksamaan:
$log{x}^2\le log(x+3).4$
Karena basis adalah $10>1$, maka pertidaksamaan
logaritma menjadi:
$x^2\le 4x+12$
$x^2-4x-12\le 0$
$(x+2)(x-6)\le 0$
$-2\le x\le 6$ . . . . ***

$(\ast )\cap (\ast \ast )\cap (\ast \ast \ast )\to 0<x\le 6$
$Jawab:C.$

8. Nilai $x$ yang memenuhi $\frac{1}{{}^{2}logx}-\frac{1}{{}^{2}logx-1}<1$
   adalah . . . .
  $A.x<1ataux>2$
  $B.1<x<2$
  $C.0<x<2$
  $D.x<2ataux>3$
  $E.0<x<1ataux>2$
[Pertidaksamaan Logaritma]

Pembahasan:

$\frac{1}{{}^{2}logx}-\frac{1}{{}^{2}logx-1}<1$

Syarat numerus:
$x>0$ . . . . *

Misalkan ${}^{2}logx=p$
$\frac{1}{p}-\frac{1}{p-1}-1<0$
$\frac{p-1}{p(p-1)}-\frac{p}{p(p-1)}-\frac{p(p-1)}{p(p-1)}<0$
$\frac{-p^2+p-1}{p(p-1)}<0$
$\frac{p^2-p+1}{p(p-1)}>0$
$p^2-p+1$ definit positif, bisa diabaikan.

Ingat jika $a>0danD<0$ disebut definit positif.

$p(p-1)>0$
$p<0$ atau $p>1$
${}^{2}logx<0atau{}^{2}logx>1$
$x<1ataux>2$ . . . . **

$\left(1\right)\cap \left(2\right)\to 0<x<1$ $ataux>2$
$Jawab:E.$

9. Nilai-nilai x yang memenuhi: ${}^{2}logx-{}^{x}log2>0$
  adalah . . . .
  $A.x>2$
  $B.x>1$
  $C.\frac{1}{2}<x<1ataux>2$
  $D.-1<x<0ataux>1$
  $E.1<x<2$
[Pertidaksamaan Logaritma]

Pembahasan:

${}^{}logx{-}^{x}log2>0$

Syarat basis dan numerus:

$x>0danx\ne 1$ . . . . *

${}^{2}logx-\frac{1}{{}^{2}logx}>0$
Misalkan ${}^{2}logx=p$
$p-\frac{1}{p}>0$
$\frac{p^2-1}{p}>0$
$(p+1)p(p-1)>0$
$-1<p<0$ atau $p>1$
$-1{<}^{2}logx<0$ atau ${}^{2}logx>1$
${}^{2}log\frac{1}{2}{<}^{2}logx{<}^{2}log1$ atau ${}^{2}logx{>}^{2}log2$
$\frac{1}{2}<x<1$ atau $x>2$ . . . . **

$(\ast )\cap (\ast \ast )\to \frac{1}{2}<x<1$ atau $x>2$
$Jawab:C.$

10. Nilai-nilai t yang memenuhi: $4{(}^{\frac{1}{2}}logt){<}^{\frac{1}{2}}log81$
  adalah . . . .
  $A.t<3$
  $B.-3<t<3$
  $C.0<t<3$
  $D.-3<t<0$
  $E.t<-3ataut>3$
[Pertidaksamaan Logaritma]

Pembahasan:

$4{(}^{\frac{1}{2}}logt){<}^{\frac{1}{2}}log81$

${}^{\frac{1}{2}}log{t}^4{<}^{\frac{1}{2}}log81$

Syarat numerus:
$t^4>0$
Selalu memenuhi untuk $t\ne 0$ . . . . *

${(}^{\frac{1}{2}}log{t}^4){<}^{\frac{1}{2}}log81$
$t^4>81$
$t^4-81>0$
$(t^2+9)(t^2-9)>0$
$t^2+9$ definit positif.
$(t^2-9)>0$
$(t+3)(t-3)>0$
$t<-3$ atau $t>3$ . . . . **

$\left(1\right)\cap \left(2\right)\to t<-3$ atau $t>3$
$Jawab:E$