SOAL PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN DAN SIFAT-SIFATNYA

 

Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Eksponen

$1.$ Apabila $(\frac{1}{2}{)}^{2x+1}<(\frac{1}{8}{)}^{5x-4}$, maka
   nilai $x$ yang memenuhi adalah . . . .
  $A.x>1$
  $B.x<-1$
  $C.x<1$
  $D.x>-1$
  $E.-1<x<1$
[Pertidaksamaan Eksponen

JAWABAN: C

${\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x+1}<{\left(\frac{1}{8}\right)}^{5x-4}$
${\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x+1}<{\left({\left(\frac{1}{2}\right)}^3\right)}^{(5x-4)}$
${\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x+1}<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{3.(5x-4)}$
Karena bilangan pokoknya adalah $\frac{1}{2}\to (0<a<1)$,
maka pertidaksamaannya menjadi:
$2x+1>15x-12$
$13>13x$
$13x<13$
$x<1$.

$2.$ Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan:
  $(\frac{1}{3}{)}^{x^2+3x-1}\ge (\frac{1}{3}{)}^{x^2-2x+9}$
  adalah . . . .
  $A.x\le 2$
  $B.x\ge -2$
  $C.x\ge 2$
  $D.1<x<2$
  $E.-1<x<1$
[Pertidaksamaan Eksponen]

JAWABAN: A

${\left(\frac{1}{3}\right)}^{x^2+3x-1}\ge {\left(\frac{1}{3}\right)}^{x^2-2x+9}$
Karena bilangan pokoknya adalah $\frac{1}{3}\to (0<a<1)$,
maka pertidaksamaannya menjadi:
$x^2+3x-1\le x^2-2x+9$
$5x\le 10$
$x\le 2$

3. Jika $5^{x^2-2x-4}>5^{3x+2}$, maka nilai $x$ yang memenuhi
  adalah . . .
  $A.x<-1ataux>6$
  $B.-1<x<6$
  $C.-1<x<1$
  $D.x<-6ataux>1$
  $E.-6<x<1$
[Pertidaksamaan Eksponen]

JAWABAN: A

$5^{x^2-2x-4}>5^{3x+2}$
Karena bilangan pokoknya adalah $5\to (a>1)$ maka
pertidaksamaan menjadi:
$x^2-2x-4>3x+2$
$x^2-5x-6>0$
$(x+1)(x-6)>0$
Pembuat nol:
$x=-1,danx=6$
Karena $-1<6$ dan $(x+1)(x-6)>0$ maka
$x<-1ataux>6$ Ingat rumus cepat !

Atau uji dengan garis bilangan !
Uji salah satu titik sembarang, misalkan titik $x=0$
ke $(x+1)(x-6)!$
$(0+1)(0-6)=1.(-6)=-6<0\to (-)$
Tanda $+$ dan tanda $-$ akan berselang seling.
Karena yang diminta adalah $(x+1)(x-6)>0\to +$ maka:

Dengan demikian himpunan penyelesaian adalah:
$x<-1ataux>6$

4. Jika $3^{x^2-3x-4}\le 1$, maka nilai $x$ yang memenuhi
  adalah . . . .
  $A.x\le 1ataux\ge 4$
  $B.-1\le x\le 4$
  $C.x\le 4$
  $D.x\ge 1$
  $E.1\le x\le 4$
[Pertidaksamaan Eksponen]

JAWABAN: B

$3^{x^2-3x-4}\le 1$
$3^{x^2-3x-4}\le 3^0$
$x^2-3x-4\le 0$
$(x+1)(x-4)\le 0$
Pembuat nol:
$x=-1ataux=4$
Karena $-1<4$ dan $(x+1)(x-4)\le 0$, maka
$-1\le x\le 4$ → Rumus cepat.
Atau uji dengan garis bilangan !
Uji salah satu titik sembarang, misalnya titik $x=1$ ke
$(x+1)(x-4)!$
$(1+1)(1-4)=2.(-3)=-6<0\to (-)$
Tanda $+$ dan tanda $-$ akan berselang seling.
Yang diminta adalah $(x+1)(x-4)\le 0\to (-)$, maka:

Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah:
$-1\le x\le 4$

5. Jika $(\sqrt{3}{)}^{4x-2}>{\left(\frac{1}{9}\right)}^{x+3}$, maka
  nilai x yang memenuhi adalah . . . .
  $A.x>-\frac{5}{4}$
  $B.x>\frac{5}{4}$
  $C.0<x<\frac{5}{4}$
  $D.-\frac{5}{4}<x<1$
  $E.x<-\frac{5}{4}$
[Pertidaksamaan Eksponen]

JAWABAN: A

$(\sqrt{3}{)}^{4x-2}>{\left(\frac{1}{9}\right)}^{x+3}$
${\left(3^{\frac{1}{2}}\right)}^{(4x-2)}>{\left(3^{-2}\right)}^{(x+3)}$
${\left(3\right)}^{\frac{1}{2}.(4x-2)}>{\left(3\right)}^{-2.(x+3)}$
$\frac{1}{2}.(4x-2)>-2.(x+3)$
$2x-1>-2x-6$
$4x>-5$
$x>-\frac{5}{4}$

6. Jika $(x-2{)}^{2x-3}<(x-2{)}^{x+3}$ maka nilai $x$ yang
   memenuhi adalah . . . .
  $A.-3<x<4$
  $B.x<3ataux>6$
  $C.3<x<6$
  $D.-3<x<6$
  $E.x<-3ataux>3$
[Pertidaksamaan Eksponen]

JAWABAN: C

$(x-2{)}^{2x-3}<(x-2{)}^{x+3}$

Bilangan pokok adalah $x-2$. Bilangan pokok dari pertidaksamaan eksponen tersebut bisa jadi bernilai diantara nol dan satu $0<x-2<1$ atau bernilai lebih besar dari pada satu $x-2>1$. Kita akan tinjau satu per satu.
Pertama:
Jika $0<x-2<1$
$0+2<x-2+2<1+2$
$2<x<3$ . . . . *
Pertidaksamaan menjadi: (ingat jika $0<a<1$)
$2x-3>x+3$
$2x-x>3+3$
$x>6$ . . . . **
$(\ast )\cap (\ast \ast )\to \varnothing$ . . . . $\left(i\right)$

Kedua:
Jika $x-2>1$
$x>3$ . . . . *
Pertidaksamaan menjadi: (ingat jika $a>1$)
$2x-3<x+3$
$x<6$ . . . . **
$(\ast )\cap (\ast \ast )\to 3<x<6$ . . . . $\left(ii\right)$
Himpunan penyelesaian adalah:
$\left(i\right)\cup \left(ii\right)\to 3<x<6$

7. Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan
  $4^{2x}-{6.4}^x+8\ge 0$ adalah . . . .
  $A.x\le \frac{1}{2}ataux\ge 1$
  $B.x\le -1ataux\ge \frac{1}{2}$
  $C.-\frac{1}{2}\le x\le 1$
  $D.-1\le x\le \frac{1}{2}$
  $E.\frac{1}{2}\le x\le 1$
[Pertidaksamaan Eksponen]

JAWABAN: A

$4^{2x}-{6.4}^x+8\ge 0$
$(4^x{)}^2-{6.4}^x+8\ge 0$
Misalkan $4^x=p$
$p^2-6p+8\ge 0$
$(p-2)(p-4)\ge 0$
Pembuat nol:
$p=2ataup=4$
Karena $2<4$ dan $(p-2)(p-4)\ge 0$ maka:
$p\le 2ataup\ge 4$ → Rumus Cepat.
Atau uji dengan gaaris bilangan !
Uji sembarang nilai $p$ ke $(p-2)(p-4)!$
Misalkan kita uji nilai $p=0$
$(0-2)(0-4)=(-2).(-4)=8>0\to +$
Tanda $+$ dan $-$ akan berselang seling. Karena yang diminta
adalah $(p-2)(p-4)\ge 0\to +$, maka:

$p\le 2ataup\ge 4$
$4^x\le 2atau{4}^x\ge 4$
$4^x\le 4^{\frac{1}{2}}atau{4}^x\ge 4^1$
$x\le \frac{1}{2}ataux\ge 1$

8. Penyelesaian dari pertidaksamaan $2^{2-2x}+2<\frac{9}{2^x}$
  adalah . . . .
  $A.-1<x<2$
  $B.-2<x<1$
  $C.x<-1ataux>2$
  $D.x<-2ataux>1$
  $E.x<0ataux>1$
[Pertidaksamaan Eksponen]

JAWABAN: A

$2^{2-2x}+2<\frac{9}{2^x}$
$\frac{2^2}{2^{2x}}+2<\frac{9}{2^x}$ → semua dikali $2^{2x}$
$4+{2.2}^{2x}<{9.2}^x$
$4+2.{\left(2^x\right)}^2<{9.2}^x$
$2.{\left(2^x\right)}^2-{9.2}^x+4<0$
Misalkan $2^x=p$
$2p^2-9p+4<0$
$(2p-1)(p-4)<0$
Pembuat nol:
$p=\frac{1}{2}ataup=4$
Karena $\frac{1}{2}<4$ dan $(2p-1)(p-4)<0$ maka:
$\frac{1}{2}<p<4$
Silahkan uji dengan garis bilangan !
$\frac{1}{2}<2^x<4$
$2^{-1}<2^x<2^2$
$-1<x<2$$.$

9. Nilai $x$ yang memenuhi $x^{\sqrt{x}}>{\left(\sqrt{x}\right)}^x$
  adalah . . . .
  $A.0<x<1atau2<x<4$
  $B.x\le 2$
  $C.1<x<4$
  $D.2\le x\le 3$
  $E.1<x<6$
[Pertidaksamaan Eksponen]

JAWABAN: C

$x^{\sqrt{x}}>{\left(\sqrt{x}\right)}^x$
$x^{\sqrt{x}}>{\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^x$
$x^{\sqrt{x}}>{\left(x\right)}^{\frac{1}{2}x}$
Bilangan pokok adalah $x$. Bisa jadi bilangan pokok bernilai diantara nol dan satu $(0<x<1)$ atau bilangan pokok bernilai lebih besar dari satu $(x>1)$. Kita akan tinjau satu per satu.
Pertama:
Jika $0<x<1$ . . . . *
Pertidaksamaan menjadi: (ingat jika $0<a<1$)
$\sqrt{x}<\frac{1}{2}x$
$x<\frac{1}{4}{x}^2$
$\frac{1}{4}{x}^2>x$
$\frac{1}{4}{x}^2-x>0$
$x^2-4x>0$
$x(x-4)>0$
$x<0ataux>4$ . . . . **
$(\ast )\cap (\ast \ast )\to \varnothing$ . . . . $\left(i\right)$

Kedua:
Jika $x>1$ . . . . *
Pertidaksamaan menjadi: (ingat jika $a>1$)
$\sqrt{x}>\frac{1}{2}x$
$x>\frac{1}{4}{x}^2$
$\frac{1}{4}{x}^2<x$
$\frac{1}{4}{x}^2-x<0$
$x^2-4x<0$
$x(x-4)<0$
$0<x<4$ . . . . **
$(\ast )\cap (\ast \ast )\to 1<x<4$ . . . . $\left(ii\right)$
Himpunan penyelesaian adalah:
$\left(i\right)\cup \left(ii\right)\to 1<x<4$.

10. Himpunan penyelesaian pertaksamaan
  $2\sqrt{4^{x^2-3x+2}}<\sqrt[3]{3{\left(\frac{1}{2}\right)}^{3-6x}}$
  adalah . . . .
  $A.\{x|x>4\}$
  $B.\{x|x>2\}$
  $C.\{x|x<1\}$
  $D.\{x|1<x<4\}$
  $E.\{x|2\le x\le 3\}$
[Pertidaksamaan Eksponen]

JAWABAN: D

$2\sqrt{4^{x^2-3x+2}}<\sqrt[3]{3{\left(\frac{1}{2}\right)}^{3-6x}}$
$2.{\left(2^2\right)}^{\frac{x^2-3x+2}{2}}<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{3-6x}{3}}$
${\left(2\right)}^{2.\frac{x^2-3x+2}{2}+1}<{\left(2^{-1}\right)}^{\frac{3(1-2x)}{3}}$
${\left(2\right)}^{x^2-3x+2+1}<{\left(2\right)}^{-1.(1-2x)}$
${\left(2\right)}^{x^2-3x+3}<{\left(2\right)}^{2x-1}$
$x^2-3x+3<2x-1$
$x^2-5x+4<0$
$(x-1)(x-4)<0$
$1<x<4$
$\mathrm{Nicholas\; Budi\; Syahputra\; (29)X\; MIPA\; 2}$