SOAL PERSAMAAN EKSPONEN DAN SIFATNYA

 Contoh Soal dan Pembahasan:

$1.$ Nilai x yang memenuhi persamaan:
  $2^{x^2-5x-6=1}$ adalah . . . .
  $A.\{2,3\}$
  $B.\{-2,3,6\}$
  $C.\{-1,6\}$
  $D.\{-6,1\}$
  $E.\{-1,1,2\}$
[Persamaan Eksponen]

Jawaban dan Pembahasan:

Bentuk persamaan:
$a^{f\left(x\right)}=1$
sehingga:
$a^{f\left(x\right)}=a^0$
dengan demikian:
$f\left(x\right)=0$
$2^{x^2-5x-6}=1$
$2^{x^2-5x-6}=2^0$
$x^2-5x-6=0$
$(x+1)(x-6)=0$
$x=-1ataux=6$
$HP=\{-1,6\}$
$jawab:C.$

$2.$ Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\sqrt{2^{3x-6}}=1$ adalah . . . .
  $A.0$
  $B.1$
  $C.2$
  $D.3$
  $E.4$
[Persamaan Eksponen]

Jawaban dan Pembahasan:

Bentuk persamaan:
$a^{f\left(x\right)}=1$ dengan sedikit modifikasi.

Ingat bahwa: $\sqrt[m]{m{x}^n}=x^{\frac{n}{m}}$

$\sqrt{2^{3x-6}}=1$
$2^{\frac{3x-6}{2}}=2^0$
$\frac{3x-6}{2}=0$
$3x=6$
$x=2$

Jawab: C.$jawab:C.$

3. Apabila $2^{x^2-2x-18}=\frac{1}{8}$, maka nilai $x$ yang memenuhi
  adalah . . . .
  $A.\{-3,5\}$
  $B.\{-5,3\}$
  $C.\{3,5\}$
  $D.\{1,3,5\}$
  $E.\{-1,3,5\}$
[Persamaan Eksponen]

Jawaban dan Pembahasan:

Bentuk persamaan:
$a^{f\left(x\right)}=a^{g\left(x\right)}$
sehingga:
$f\left(x\right)=g\left(x\right)$

Ingat bahwa $\frac{1}{x^n}=x^{-n}$

$2^{x^2-2x-18}=2^{-3}$
$x^2-2x-18=-3$
$x^2-2x-15=0$
$(x+3)(x-5)=0$
$x=-3ataux=5$
$HP=\{-3,5\}$
$jawab:A.$

$5.$ Jika $\sqrt[3]{38^{x+2}}=(\frac{1}{32}{)}^{2-x}$, maka nilai dari $8x-x^2$
  adalah . . . .
  $A.7$
  $B.12$
  $C.15$
  $D.16$
  $E.33$
[Persamaan Eksponen]

Jawaban dan Pembahasan:

$\sqrt[3]{38^{x+2}}=(\frac{1}{32}{)}^{2-x}$
$2^{x+2}=2^{5x-10}$
$x+2=5x-10$
$12=4x$
$x=3$

$8x-x^2=8.3-3^2$
$=15$
$jawab:C$

$6.$ Untuk $x$ dan $y$ yang memenuhi sistem persamaan:
   $5^{x-2y+1}={25}^{x-2y}$ dan $4^{x-y+2}={32}^{x-2y+1}$
   maka nilai $x.y=$ . . . .
    $A.6$
    $B.8$
    $C.10$
    $D.15$
    $E.20$
[Persamaan Eksponen]

Jawaban dan Pembahasan:

Pertama:
Dari persamaan eksponen:
$5^{x-2y+1}=5^{2x-4y}$
$x-2y+1=2x-4y$
$x-2y=1$ . . . . (*) ← semua dikali 3 !
$3x-6y=3$ . . . . (*)
Kedua:
Dari persamaan eksponen:
$2^{2x-2y+4}=2^{5x-10y+5}$
$2x-2y+4=5x-10y+5$
$3x-8y=-1$ . . . . **

Eliminasi persamaan (*) dan (**)

$3x-6y=3$
$3x-8y=-1$
------------------------ ---
$2y=4$
$y=2$
$x=5$

$xy=5.2$
$xy=10$
$jawab:C.$

$7.$ Jika ${2.4}^x+2^{3-2x}=17$, maka nilai dari $2^{2x}$ adalah . . . .
    $A.\frac{1}{2}atau8$
    $B.\frac{1}{2}atau4$
    $C.1atau4$
    $D.\frac{1}{2}atau\frac{1}{2}\sqrt{2}$
    $E.\frac{1}{2}\sqrt{2}atau2\sqrt{2}$
[Persamaan Eksponen]

Jawaban dan Pembahasan:

${2.4}^x+2^{3-2x}=17$
$2.{\left(2^2\right)}^x+2^{3-2x}=17$
${2.2}^{2x}+\frac{2^3}{2^{2x}}=17$
${2.2}^{2x}+\frac{8}{2^{2x}}=17$ ← semua dikali $2^{2x}$
$2.(2^{2x}{)}^2-{17.2}^{2x}+8=0$

Misalkan $2^{2x}=p$
$2p^2-17p+8=0$
$(2p-1)(p-8)=0$
$p=\frac{1}{2}ataup=8$

Karena $p$ adalah $2^{2x}$, maka:
$2^{2x}=\frac{1}{2}atau{2}^{2x}=8$
$jawab:A.$

$8.$ Jika $3^{2x+2}+{8.3}^x-1=0$, maka nilai $x=$ . . . .
    $A.-4$
    $B.-3$
    $C.-2$
    $D.-1$
    $E.0$
[Persamaan Eksponen]

Jawaban dan Pembahasan:

Ingat !
$(x^m{)}^n=(x^n{)}^m=x^{mn}$

$3^{2x+2}+{8.3}^x-1=0$
$3^{2x}{.3}^2+{8.3}^x-1=0$
$9.(3^x{)}^2+{8.3}^x-1=0$

Misalkan $3^x=p$

$9p^2+8p-1=0$
$(p+1)(9p-1)=0$
$p=-1ataup=\frac{1}{9}$

Pertama:
$3^x=-1$ ← tidak mungkin karena $a^x$ selalu positif.

Kedua:
$3^x=\frac{1}{9}$
$3^x=3^{-2}$
$x=-2$
$jawab:C.$

$9.$ jika $(x-2{)}^{2x+3}=(x-2{)}^{3x-5}$, maka nilai $x$ yang memenuhi
   adalah . . . .
   $A.\{1,2,3\}$
   $B.\{2,3,8\}$
   $C.\{-1,2,3\}$
   $D.\{-1,2\}$
   $E.\{-2,3\}$
[Persamaan Eksponen]

Jawaban dan Pembahasan:

$(x-2{)}^{2x+3}=(x-2{)}^{3x-5}$

Persamaan eksponen memiliki sifat:
$f(x{)}^{g\left(x\right)}=f(x{)}^{h\left(x\right)}$
$f\left(x\right)=x-2$
$g\left(x\right)=2x+3$
$h\left(x\right)=3x-5$

sehingga:
Solusi (I):
$g\left(x\right)=h\left(x\right)$
$2x+3=3x-5$
$x=8$

Solusi (II):
$f\left(x\right)=1$
$x-2=1$
$x=3$

Solusi (III):
$f\left(x\right)=-1$ asalkan $g\left(x\right)$ dan $h\left(x\right)$
sama-sama genap atau sama-sama ganjil.
$x-2=-1$
$x=1$
$g\left(x\right)=2x+3\to g\left(1\right)=5$ ← ganjil
$h\left(x\right)=3x-5\to h\left(1\right)=-2$ ← genap
karena $g\left(1\right)$ ganjil dan $h\left(1\right)$ genap,
berarti $x=1$ bukanlah penyelesaian!

Solusi (IV):
$f\left(x\right)=0$ asalkan $g\left(x\right)>0$ dan $h\left(x\right)>0.$
$x-2=0$
$x=2$
$g\left(x\right)=2x+3\to g\left(2\right)=7>0$.
$h\left(x\right)=3x-5\to h\left(2\right)=1>0$
Berarti $x=2$ adalah salah satu penyelesaian!
$HP=\{2,3,8\}$
$jawab:B.$

$10.$ Himpunan penyelesaian dari persamaan:
  $(2x-3{)}^{x^2-2x}=(2x-3{)}^{x+4}$ adalah . . . .
   $A.\{-2,-1,1,2\}$
   $B.\{-1,-2,2\}$
   $C.\{-1,1,2,4\}$
   $D.\{-2,2,4\}$
   $E.\{-2,4\}$
[Persamaan Eksponen]

Jawaban dan Pembahasan:

Bentuk persamaan:
$f(x{)}^{g\left(x\right)}=f(x{)}^{h\left(x\right)}$
$f\left(x\right)=2x-3$
$g\left(x\right)=x^2-2x$
$h\left(x\right)=x+4$

sehingga:
Solusi (I):
$g\left(x\right)=h\left(x\right)$
$x^2-2x=x+4$
$x^2-3x-4=0$
$(x+1)(x-4)=0$
$x=-1ataux=4$

Solusi (II):
$f\left(x\right)=1$
$2x-3=1$
$2x=4$
$x=2$

Solusi (III):
$f\left(x\right)=-1$, asalkan $g\left(x\right)$ dan $h\left(x\right)$
sama-sama genap atau sama-sama ganjil.
$2x-3=-1$
$2x=2$
$x=1$
$g\left(x\right)=x^2-2x\to g\left(1\right)=-1$ ← ganjil
$h\left(x\right)=x+4\to h\left(1\right)=5$ ← ganjil

Berarti $x=1$ adalah salah satu penyelesaian!

Solusi (IV):
$f\left(x\right)=0$, asalkan $g\left(x\right)>0$ dan $h\left(x\right)>0$.
$2x-3=0$
$2x=3$
$x=\frac{3}{2}$
$g\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{3}{4}<0$
Karena salah satu yaitu $g\left(x\right)<0$, maka
$x=\frac{3}{2}$ bukanlah salah satu penyelesaian!
$HP=\{-1,1,2,4\}$
$jawab:C.$

NICHOLAS BUDI SYAHPUTRA (29)

X MIPA 2